数理基础 · A4

数值计算与微分方程

仿真、积分器、动力学求解都要面对数值稳定性。步长选错，仿真会「炸」，而且看起来像算法错了。

要学什么

• 显式与隐式积分器的稳定性差异；半隐式欧拉为什么在刚体仿真里常用
• 刚性方程与步长：什么情况下必须缩小步长或换积分器
• 浮点精度与累计误差：为什么长时间积分后位置会漂
• 稀疏线性方程组的求解思路（机器人动力学的矩阵大多稀疏）

四条路线需要多深

「精通」= 能从零推导 / 能手写实现 / 能判断别人的方案对不对；「用过」= 能调起来、能改参数；「知道」= 能听懂、能提问。

怎么算学会了

能说出显式与隐式积分器的稳定性差异，能解释为什么刚体仿真常用半隐式欧拉，能判断结果发散是步长问题还是模型问题。

常见错误

• 仿真步长 1ms，却声称能反映 2kHz 电流环的行为
• 结果发散先怀疑算法，其实把步长减半就好了

前置